Gọi B(x;y), ta có \(OA\perp OC\) nên OABC là hình chữ nhật =>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-2=0\\y-0=4\\z-0=0\end{cases}\) \(\Rightarrow B\left(2;4;0\right)\)

Ta có \(\overrightarrow{OB}=\left(2;4;0\right);\overrightarrow{OD}=\left(0;0;4\right);\overrightarrow{CB}=\left(2;0;0\right);\overrightarrow{CD}=\left(0;-4;4\right)\)

Do đó \(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OD}=0\) và \(\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}=0\Rightarrow\widehat{BOD}=\widehat{BCD}=90^0\)

Suy ra mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, D có tâm I là trung điểm của BD, bán kính R=OI

Ta có \(I\left(1;2;2\right);R=OI=\sqrt{1+2^2+2^2}=3\)

Do đó mặt cầu (S) có phương trình : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-2\right)^2=9\)

b

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}a+bi+a-bi=10\\\sqrt{a^2+b^2}=13\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=10\\a^2+b^2=169\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=12\end{matrix}\right.\)

2.

\(\left(-2+i\right)^2+a\left(-2+i\right)+b=0\)

\(\Leftrightarrow3-4i-2a+ai+b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-2a+b+3\right)+\left(a-4\right)i=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2a+b+3=0\\a-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=5\end{matrix}\right.\)

3.

\(z^2+2z+8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z_1=-1+7i\\z_2=-1-7i\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow w=10+2\sqrt{7}i\)

4.

\(z^4-z^2-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z=4\\z=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z=2\\z=-2\\z=i\sqrt{3}\\z=-i\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow T=4+2\sqrt{3}\)

5.

\(\overrightarrow{NM}=\left(3;-3;2\right)\Rightarrow MN=\sqrt{3^2+3^2+2^2}=\sqrt{22}\)

6.

\(\overrightarrow{AB}=\left(4;-2;6\right)\Rightarrow R=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{4^2+2^2+6^2}=\sqrt{14}\)

Gọi I là trung điểm AB \(\Rightarrow I\left(-1;0;-1\right)\)

Pt mặt cầu:

\(\left(x+1\right)^2+y^2+\left(z+1\right)^2=14\)

7.

\(R=d\left(I;Oy\right)=\sqrt{x_I^2+z_I^2}=5\)

Pt mặt cầu:

\(\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-4\right)^2=25\)

8.

Đường thẳng d qua điểm \(M\left(0;-1;2\right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left(1;-1;-1\right)\) là 1 vtcp

\(\overrightarrow{MI}=\left(1;4;3\right)\)

\(\Rightarrow R=d\left(I;d\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u};\overrightarrow{MI}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{\left|\left(-1;4-;5\right)\right|}{\left|\left(1;-1;-1\right)\right|}=\sqrt{14}\)

Pt mặt cầu:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2=14\)

Đáp án A

Gọi I(a,b,c) là tâm của mặt cầu (S). Ta có:

=> I(1; 1; 1); R = OI = 3

Vậy phương trình của mặt cầu (S) là:  ( x   -   1 ) 2   +   ( y   -   1 ) 2   +   ( z   -   1 ) 2  = 3

Đáp án B

Xét  ( S ) :   x 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = 16  có tâm I(1;2;3), bán kính R = 4

Gọi O là hình chiếu của I trên (P).  

Khi và chỉ khi IO ≡ IHvới H là hình chiếu của I trên AB.

I H → là véc tơ pháp tuyến của mp (P) mà IA = IB => H là trung điểm của AB

Đáp án là B

Đáp án B

Gọi J là hình chiếu vuông góc của I lên AB

A B → - 2 ; 2 ; 0 ⇒ A B : x = 1 - t y = t z = 2 J ∈ A B ⇒ J 1 - t ; t ; 2 ⇒ I J → - t ; t - 2 ; - 1 I J → . A B → = 0 ⇔ 2 t + 2 t - 4 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ J ( 0 ; 1 ; 2 )

Thiết diện của (P) với (S) có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất khi và chỉ khi d(I;(P))=d(I;(AB)) =IJ

Vậy (P) là mặt phẳng đi qua J và có VTPT  I J →

=> (P): x+(y-1)+(z-2)=0 <=> -x-y-z+3=0

=> T=-3

Đáp án B

Gọi J là hình chiếu vuông góc của I lên AB

A B → ( − 2 ; 2 ; 0 ) ⇒ A B : x = 1 − t y = t z = 2 J ∈ A B ⇒ J ( 1 − t ; t ; 2 ) ⇒ IJ → ( − t ; t − 2 ; − 1 ) IJ → . A B → = 0 ⇔ 2 t + 2 t − 4 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ J ( 0 ; 1 ; 2 )

Thiết diện của (P) với (S) có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất khi và chỉ khi  d ( I ; ( P ) ) = d ( I ; A B ) = IJ

Vậy (P) là mặt phẳng đi qua J và có VTPT  IJ →

⇒ ( P ) : x + ( y − 1 ) + ( z − 2 ) = 0 ⇔ − x − y − z + 3 = 0 ⇒ T = − 3

Đáp án B

Xét  S : x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = 16 có tâm I(1;2;3) bán kính R = 4 

Gọi O là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P). Ta có S m i n ⇔ d I ; P m a x ⇔ I O m a x  

Khi và chỉ khi I O ≡ I H  với H là hình chiếu của I trên AB

⇒ I H →  là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) mà I A = I B ⇒ H  là trung điểm AB

⇒ H ( 0 ; 1 ; 2 ) ⇒ I H → = ( - 1 ; - 1 ; - 1 ) ⇒ m p P  là -x - y - z + 3 = 0.